闰月的数字秘密

《时间之问》是一部作者和学生对话交换的“记录”,接纳“时间”作为跨学科研讨的媒婆,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古知识等不同学科,这多少个话题像一颗颗分散的串珠,被“时间”这根主线串联起来。那里既能够赶上祖冲之、郭守敬、庞加莱、普赖斯(Price)等大化学家,也会意识庄子休、博尔赫兹、史铁生、Plato等文哲我们。

接上一节…


“那我们怎么去充实闰月呢?在哪一年加闰月呢?” 学生问道。

“哦,那诚然是个问题,比如扩大了一个30天的闰月,不过还没有完全弥补33天的差距,还少3天。”

“这可怎么处理,古人也碰着了这一个忙碌的问题了呢?他们是怎么解决的吧?”

那一个题材可不仅是炎黄人遇上了,古希腊人、希伯来人都遭受过那一个题目,那个问题折磨了原始人几千年。因为她俩也拔取了阴阳混合历,就是各类月遵照月亮的圆缺来控制,不过一年的长短又依照太阳的回归年来规定,那就要通过扩充闰月来圆场。公历和农历需要互动折中、相互协调,才有可能融为有机的紧密。”

万一把农历比作太阳、而农历比作月宫,那么这幅画里既有太阳又有月亮,就像阴阳混合历里既有农历又有农历,需要互相折中、互相协调,才有可能融为有机的严俊。(from
flickr 公开图片)

“我回忆里,每一次加闰月好像很自由,没有什么样规律。不像公历里面的闰年,总是在十二月的末段加一天,农历的闰月不自然加在这一个月,而且不肯定哪一年有闰月。这些挺复杂的。”
学生说道。

“我们不妨从简单的起始考虑。先做一些粗略的臆想,然后再持续细化和优化。我想古人应该也是这么考虑的。先删繁就简试试看。”

“好的,这大家起头吧。” 学生说到。

“不过在始发在此以前,先要确定三个最主题的数值,这六个数值分别是一个回归年的长短和一个朔望月的长短。因为这是多个最中央的量,而且基本上不随时间不定(至少在数百年间这么),唯有确定了这五个数值的深浅,才好举行闰月的揣测。”

“这好。首先确定一年的长度。”

“一年的长度可以通过总结六个大暑时刻之间的年月来确定,也足以经过总结五个处暑之间的长度来确定,不言而喻是地球绕太阳一圈的时间。这个数值古人在春秋周朝时期就曾经估量到大约是365.25天,大约相当于每四年大增一天,当然这么些数值后来通过了源源优化变得进一步可靠,近期的精确值是365.24219…天。历代天思想家不断优化这多少个值,以后大家再议论这几个数值是怎么统计来的。”

“那些朔望月的尺寸呢?”

“这一个就相比容易了。古人也发现一个月并不是整数天。”

月相的圆缺变化周期称为一个朔望月:29.5306天 (from Wikimedia)

“是怎么发现的吗?” 学生问到。

“古人发现月球每29天或者30天就完事一回圆缺周期,每个月的十五要么十六刚好月圆,假使确定每个月都是是29天整,这下一个满月之日就会比“十五”提前半天来临,再下一个满月之日会提前到“十四”,这样满月之日就会愈来愈提前过来。”

“每过多少个月,满月的日期就会提早一天?”

“对,12个月之后就提前了6天,也就是说初九、初十的时候月亮就圆了,这就严重偏离了历法。”

“只需一年就能够发现这一个问题?”

“对。反过来也是,假设一个农历月规定是30天整,那么满月之日就愈加推后到来,过了12个月,就要到这些月的“二十一”日左右才会合到月圆。”

“一年以内就有这般大的误差!那一定有题目。这古人怎么化解这些问题呢?”
学生问到。

“古人解决这么些题目标时候遭受了一个忙碌,这就是只要一个农历月不是整数天,那么一旦那个月月圆时刻是在半夜,那么下两遍月圆可能是在清晨,而此时是看不到月亮的。”

“所以无法像测量一年的长度那样,直接测量一个朔望月的尺寸了!”

“你说的没错。然而古人即刻就悟出了一个直接的方法。这措施有点像称一粒米的轻重。单独称一粒米的轻重是不具体的,那么可以称一碗米的份量,然后数一数有微微粒米,二者相除就收获了一粒米的分量。”

“这就测量很两个满月,然后用总共的天命除以满月的次数?” 学生猜到。

“对。连续测量比如100个月圆之间的日期数,比如是2953天,那么月亮的圆缺周期大约是29.53天。”

“我算算,2953天,大约是8年多。时间也不算太长,只要不断记录月圆就足以了,那多少个法子比较简单。”

“这我们有了这五个主导数值,一年大概是365.25天,一个月是29.53天。接下来大家就可以做下一步了,就是计量在哪一年当中来插入闰月。”

“好的。”

“大家先看一下12个公历月就是29.53×12=354.36天,而1年是365.25,两者差了10.89天,三年就差了32.67天,比一个月还多,所以我们只要每3年就插入一个闰月(每个月平均是29.53天),然而这样还少3.14天。”

3年1闰,扩展一个闰月后,仍有误差

“这可咋办吧?”

“大家想想办法尝试”,老师说,“例如把3年拉长3倍变成9年,农历和农历之间的流年差达到了10.89×9=98.01天,9年中需插入3个闰月(平均需要29.53×3=88.59天),这样误差就是98.01-88.59=9.42天。”

“对,这很容易通晓,相当于把3年1闰的误差3.14天放大了3倍。”

“是的,可是大家通晓每年公历比阳历少了10.89天,和那几个9.42天不胜相近,有可能刚刚把两者抵消,从而大大减弱误差。”

“怎么抵消呢?”

“我们把9年成为8年,就少了10.89天,那样就很大程度上抵消了9.42天,也就是说不是9年3闰,而是8年3闰,误差就会大大减小。大家来验证一下:8年内阳历和公历差了10.89×8=87.12天,而3个闰月假设按89天统计,这样8年中插入3个闰月,误差唯有1天多。那误差已经是比9年3闰的误差小了很多了。”

“嗯。”

8年3闰:8个回归年vs. 99个朔望月,误差比3年1闰大大缩短

“看来这种把日子等比拉长然后从分母里减去1年的不二法门有效,这大家继承吧。现在我们把3年拉长4倍变成12年,需插入插入4个闰月(29.53×4=118.12天),12年一起少了10.89*12-118.12=12.56天。在这些基础上,我们绝不等到12年,而是到了11年就把4个闰月全体插完,11年4闰,这样11年一起差了10.89*11-118.12=1.67天。这样每11年的误差有1.79天,比起12年4闰的12.56天的误差也大大收缩了。”

“嗯。我似乎不怎么精通了,大家得以延续这么,把插入闰月的周期相比拉长,看能不可以找到更好的近似值。”

“对,就是那一个思路。现在大家在11年插入4个闰月的基本功上,继续翻倍,也就是22年增多8个闰月,同样误差加倍就是3.34天,也就是比正规日期少了3.34天。”

“让自己看看,那多少个3.34天和最初的三年一闰少的这3.14天可比像样。”

“对,大家离春秋周朝时期使用的历法唯有一步之遥了。”

“啊哈!看出来了!我们把这22年8闰的误差3.34天全体归纳到是里面的一个三年一闰的3.67天发生的,那么只要把22年8闰减去3年1闰,变成19年7闰,就可以用3.34去抵消3.14,这样误差就很小了!”

“很好,大家来验算一下”,老师说,“19年共计是6939.602天,插入7个闰月后,总共有19×12+7=235个朔望月,也就是6939.691天。这样每19年的误差只有不到0.1天!”

“真的要命小了。”

“是的,那对尚未精准测量仪器的古人来说已经不行不易了。”

“19和235这五个数有什么出格之处吗” 学生问到。

“19年里有12年是常年,每年12个月,此外7年是闰年,每年13个月,总共是235个月。大家可以社团出一幅精美的图样来代表这个数字。首先最全面的图纸是圈子,所以大家先画一个圆;其次六边形也是那一个全面的形状,雪花和蜂巢都和六边形有关,所以在这些圆周围添加6个圆,总共就有了7个圆。这7个圆代表7个闰年,每年有13个月,所以我们在圆里写上数字13,这样我们就有了91个月。”

“那其它12个平年呢?”

“每个平年用一个写有数字12的圆表示,它们均匀地围绕着主导的6个圆,与之相切并两两相切,你会看出那12个圆和6个圆吻合和严丝无缝,最后外围这12个圆又和一个更大的圆相切,吻合得这个好(左图)。因为这12个圆表示平年,所以总共有144个月。144个月加上闰年的91个月,刚好是235个月!”

19和235的私房图形:左图:19年中有7个闰年,表示为骨干的一个圆和与之相切的6个圆,每个闰年13个月,所以有13×7=91个月;剩下12个平年表示为最外面的12个相切的圆,每个平年12个月,有12×12=144个月,加起来有91+144=235个月。右图:原理和布局与左图相同,都是基本一个圆,中间6个圆,外围12个圆,只是圆与圆之间不是相切,而是经过圆心相交
(右图from infinity-codes.net)

“真是完美!” 学生说道。

“仍可以够变得更美。第一个圆和它周围的6个圆即使不是相切的涉及,而是相交,中间的圆的圆圆通过这6个圆的圆心;另外,中间的6个圆的圆圆也正好经过外围的12个圆的圆心,那么就足以画出一个更美观的图案出来!(右图)”

“没悟出这么出色!对了,古人是怎么推导出19年7闰的吧?”

“一方面,古人通过大气数量的积累,可以展开部分估算从而逼近实际的观测结果。此外一头也有一些数学方面的精打细算方法。”

“有什么措施吗?”

“很不满,具体的主意已经无力回天适用知道了,古人只留下了结果,而尚未交给推导过程。我们不得不够按照结果去揣度过程了。”

“真是很不满!”

“是的,这有点像考古挖掘。比如我们挖掘到从来骨头做的笛子,知道远古之人曾经发明和利用过如此的乐器,不过古人是用什么样措施做出来这样的笛子,以及笛子吹出来什么样的音乐,我们就不得不揣度了。”

“这我们揣度古人是怎么推导出来的呢?” 学生问到。

“一种臆想是古人是用了一种分式不等式的法门来逼近这些结果的。”

“什么是分式不等式?” 学生很好奇。

“先看一个分式不等式的例子,例如1/2低于2/3,即使把1/2和2/3的积极分子有些相加,也就是1+2=3,作为新的分子,把分母部分相加2+3=5,作为新的分母,也就获取一个新的分式3/5,也就是0.6,而新的分式的高低刚好是地处1/2和2/3里面。”

“哦,这很粗略。写成代数表达式就是,假诺a/b
小于c/d,那么(a+c)/(b+d)介于a/b和c/d之间。”

“对,比方我们刚刚的例证,4/11低于3/8,那么7/19就在于那两者之间。”

“可缘何刚好是7/19最相近实际呢?” 学生仍旧有些疑惑。

“这是个很好的问题!实际上这早已是关于数学的题材了。”

“是的。”

“正是。刚才大家说过地球绕太阳一周是365.25天,而月球绕地球一周是29.53天,那么也就表示,当地球绕太阳一周的时候,月亮绕了地球12周多一些,但不到13周,确切说是绕了365.2422/29.5306=12.36826周,而其一数不是整数,也就是说用12个月来表示一年则少了10多天,而尽管用13个月来抒发一年又多出去将近20天。”

“所以只能折中时而,在多少年份用12个月,有些年份用13个月。”

“假若3年1闰,出现闰月的年度的比值是0.333,误差较大。
如果8年3闰,出现闰月的年份的比率是0.375,误差有所缩减。
万一11年4闰,出现闰月的年份的比率是0.3636,误差继续回落。
若果19年7闰,出现闰月的年度的比值是0.3684,误差已经很小。
你有没有察觉出来一种倾向?”

“哦,我看出了,更为趋近于12.36826的小数部分0.36826,而且是从上下四个方向逼近的。”

从3年1闰到8年3闰、11年4闰、19年7闰,数字从0.33333
平素逐渐逼近到0.36826:上下波动地趋近,而不是断章取义趋近

“对。我们不知不觉中早已越来越趋近于一个原则性的常数,而这个数字操纵了我们在一段时间里要设置有些个闰月,而且知道了那一个数值的大大小小,我们也就知晓了每隔多少年,太阳、月亮和地球又会另行赶回原先的相对地点,开头新的一轮循环。反过来,即便那个数值有着改变,那么大家的历法也要做调整了。”

“除了中国人还有其他国家的人演绎出这一个数值吗?”

“有,古巴比特(Babbitt)伦人很早从前就推导出了19年7闰。后来古希腊的天翻译家默冬(Meton)于公元前431年披露推导出来,由此19年7闰这个周期在净土又称作“默冬章”。中国人在公元前589年起来即已了解19年7闰法则。”

“既然已经确定了19年里加7个闰月,这接下去,这7个闰月加在哪些年份的吧?”

“一般的话每隔2-3年就要设置一个闰月,古希腊人在这地点的设置没有统一的立宪,每个城邦都有自己的主意。其中一个相比有规律的法门就是把闰年的安装一定到一定的年份。现在人们估摸立时的默冬历法里,在19年的第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年里扩张闰月。在稍微希腊城邦里,闰月平常置于波塞德昂月之次月,即第二个波塞德昂月(闰八月),但在此外一些城邦闰月的安装是随便的。”

古希腊某些城邦的19年7闰:在稳定的年度(第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年)扩张闰月

“那远古中华人的闰月又插入到哪些月前面呢?” 学生问到。

“说到这或多或少,中国人提议的不二法门可以说惟一于世界了。一起首中国人一度拔取过一定把闰月放在年终的法子,不过这种办法无法很好地调和月份和时节。后来到了公元前104年的古时候,中国人找到一种更加巧妙的措施,并动用在当下的《太初历》里面,这种置闰方法一方面月份和季节非常符合,另一方面还特别简单优雅!

“那是何许办法呢?”

未完,待续….



有关作者:笔名偶遇科学,微电子学学士,喜欢追逐事物背后的由来和见仁见智科目标关联,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他赢得了谨慎的考虑精神,更让她领会了无可非议背后温情和人文不可或缺。每一周他和学生在食堂的永恒约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的意趣。


参考文献

  • 江晓原. 巴比(Babbitt)伦—中国天经济学史上的多少个问题[J]. 自然辩证法通讯,
    1990(4):40-46.
  • 徐松岩. 古希腊历法简述

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